Question

17．（1）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．
（2）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？

Answer 1

分析 （1）根据菱形对角线的性质，可知一条对角线平分一组对角，即∠FAC=∠EAC，再根据边角边即可证明△ACE≌△ACF．
（2）根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3-0.5x）元，由题意得（x+3）（3-0.5x）=10求出即可．

解答 解：（1）证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠FAC=∠EAC，
在△ACE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAC=∠FAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ACF（SAS）．

（2）设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3-0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3-0.5x）=10．
化简，整理，的x²-3x+2=0．
解这个方程，得x₁=1，x₂=2，
则3+1=4，
2+3=5．
答：每盆应植4株或者5株．

点评 此题考查了一元二次方程的应用及全等三角形的判定，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．