Question

2．如图，已知y=kx和双曲线y=$\frac{m}{x}$（m＞0），点A（a，b）（a＞0）在双曲线y=$\frac{m}{x}$上
（1）当a=b=2时，①直接写出m值4
②若k=-2，将直线y=kx平移至双曲线y=$\frac{m}{x}$只有一个交点，求平移后的直线解析式
（2）将直线y=kx绕怨念O旋转，设旋转后直线与双曲线y=$\frac{m}{x}$交于B、C两点（点B在第一象限）直线AB、AC分别与x轴交于D、E两点，写出$\frac{AB}{AD}$与$\frac{AC}{AE}$之间的数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①把A（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$即可得到结论；②设平移后的直线为y=-2x+b，解方程组即可得到结论；
（2）当点A在直线BC的上方，过A，B，C分别作y轴的垂线，垂足为F，G，H，则OF=b，OG=OH=n，FG=OF-OG=b-n，FH=OF+OH=b+n根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．

解答 解：（1）①把A（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$得，m=4，
故答案为：4；
②设平移后的直线为y=-2x+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
∴2x²-bx+4=0，
∵△=（-b）²-4×2×4=0，
∴b=4$\sqrt{2}$，
方程有两个相等的实数根，此时直线y=-2x+b曲线y=$\frac{m}{x}$只有一个交点，
∴平移后的直线为y=-2x+4$\sqrt{2}$；

（2）当点A在直线BC的上方，过A，B，C分别作y轴的垂线，垂足为F，G，H，
则OF=b，OG=OH=n，FG=OF-OG=b-n，FH=OF+OH=b+n，
∵AF∥x轴∥CH，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{FH}{FO}$=$\frac{b+n}{b}$，
∴$\frac{AC}{AE}+\frac{AB}{AD}$=$\frac{b+n}{b}$+$\frac{b-n}{b}$=2；
当A在BC的下方时，同理可求$\frac{AB}{AD}$=$\frac{n-b}{b}$，$\frac{AC}{AE}$=$\frac{n+b}{b}$，
∴$\frac{AC}{AE}$-$\frac{AB}{AD}$=2，
综上所述，$\frac{AC}{AE}$±$\frac{AB}{AD}$=2．

点评 本题考查了坐标与图形变换-旋转，待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．