Question

16．如图所示，已知点C（-3，m），点D（m-3，0）．直线CD交y轴于点A．作CE与X轴垂直，垂足为E，以点B（-1，0）为顶点的抛物线恰好经过点A、C．
（1）则∠CDE=45°；
（2）求抛物线对应的函数关系式；
（3）设P（x，y）为抛物线上一点（其中-3＜x＜-1或-1＜x＜1，
连结BP并延长交直线CE于点N，记N点的纵坐标为y_N，连结CP并延长交X轴于点M．
①试证明：EM•（EC+y_N）为定值；
②试判断EM+EC+y_N是否有最小值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AE=m-3-（-3）=m，CE=m，得到AE=CE，从而得到∠EAC=45°；
（2）设E点横坐标为x_E，D点横坐标为x_D，则ED=x_D-x_E=m，又C（-3，m），可知，A（0，m-3），C（-3，m），设抛物线的方程为y=a（x+1）²，代入求值即可；
（3））①设P（x，x²+2x+1），作PQ⊥x轴于Q，根据EM•（EC+y_N）=$\frac{4}{1-x}$•（-2x-2+4）=8可知为定值；
②求出y=s+t=t+$\frac{8}{t}$=（$\sqrt{t}$-$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{t}}$）²+4$\sqrt{2}$，求出最小值．

解答 解：（1）∵AE=m-3-（-3）=m，CE=m，
∴AE=CE，
∴∠EAC=45°．
（2）设E点横坐标为x_E，D点横坐标为x_D，
则ED=x_D-x_E=m，又C（-3，m），
∴EC=ED，即∠CDE=45°，
∴OA=OD=m-3，即A（0，m-3），
设抛物线的方程为y=a（x+1）²，则$\left\{\begin{array}{l}m=4a\\ m-3=a\end{array}\right.$，
解得，a=1，m=4，故抛物线方程为y=（x+1）²．
（3）①设P（x，x²+2x+1），作PQ⊥x轴于Q，如图：
由Rt△BPQ∽Rt△BNE，可得y_N=-2（x+1），
由Rt△MPQ∽Rt△MCE可得，EM=$\frac{4}{1-x}$，
∴EM•（EC+y_N）=$\frac{4}{1-x}$•（-2x-2+4）=8（为定值）（-3＜x＜-1和-1＜x＜1两种情况完全相同）．
②有最小值．
记y=EM+EC+y_N，s=EM，t=EC+y_N，由①st=8，
∴y=s+t=t+$\frac{8}{t}$=（$\sqrt{t}$-$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{t}}$）²+4$\sqrt{2}$，
此时，（$\sqrt{t}$-$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{t}}$）²=0，化简得t=2$\sqrt{2}$，即x=1-$\sqrt{2}$时，取到最小值．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及坐标与图形的关系、等腰直角三角形的判定、二次函数的最值等，综合性强，值得关注．