【题目】如图,在边长为6的正方形ABCD中,点P为AB上一动点,连接DB、DP,AE⊥DP于E.
(1)如图①,若P为AB的中点,则= ; = ;
(2)如图②,若时,证明:AC=4BF;
(3)如图③,若P在BA的延长线上,当= 时,.
【答案】(1),;(2)详见解析;(3).
【解析】
(1)延长AF交BC于M,证△ABM≌△DAP,得BM=AP,再根据△MBF∽△ADF对应边成比例列出比例式=,然后再根据正方形的边长相等,对角线相等进行转化即可求解;
(2)先根据已知条件求出=,然后同(1)的方法作出辅助线即可进行证明;
(3)同前两小题的思路,延长CB交AF于点M,然后同(1)的求解思路进行求解计算.
(1)延长AF交BC于M,∴∠BAM+∠AMB=90°.
∵AE⊥DP,∴∠BAM+∠DPA=90°,∴∠AMB=∠DPA.
在△ABM和△DAP中,∵,∴△ABM≌△DAP(AAS),∴AP=BM(全等三角形对应边相等).
∵四边形ABCD是正方形,∴BC∥AD,∴△MBF∽△ADF,∴=.
∵点P是AB的中点,∴AP=BM=AB=AD,∴==,∴==,即=.
又∵AC=BD,∴=.
故答案为:;
(2)∵=,∴==,即=,方法同(1),延长AF交BC于M,则===,∴==,即=.
∵正方形的对角线AC=BD,∴=,∴AC=4BF;
(3)延长CB交AF于点M,方法同(1)可得:==,∴=,∴=,即=.
∵正方形的对角线AC=BD,∴=.
故答案为:.
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【题目】已知:正方形ABCD中,AB=4,E为CD边中点,F为AD边中点,AE交BD于G,交BF于H,连接DH.
(1)求证:BG=2DG;
(2)求AH:HG:GE的值;
(3)求的值.
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【题目】如图.在平面直角坐标系内,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,﹣2),B(4,﹣1),C(3,﹣3)(正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度).
(1)作出△ABC向左平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的△A1B1C1;
(2)以坐标原点O为位似中心,相似比为2,在第二象限内将△ABC放大,放大后得到△A2B2C2作出△A2B2C2;
(3)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°,得到△A3B3C3,作出△A3B3C3,并求线段AC扫过的面积.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB=4,BD=4,E为AB的中点,点P为线段AC上的动点,则EP+BP的最小值为( )
A. 4B. 2C. 2D. 8
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【题目】为落实“美丽抚顺”的工作部署,市政府计划对城区道路进行了改造,现安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍,甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.
(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米?
(2)若甲队工作一天需付费用7万元,乙队工作一天需付费用5万元,如需改造的道路全长1200米,改造总费用不超过145万元,至少安排甲队工作多少天?
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【题目】如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E在AC上(且不与点A、C重合).在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
(1)求证:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如图2,将△CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,连接AE,求证:AF=AE;
(3)如图3,将△CED绕点C继续逆时针旋转,当平行四边形ABFD为菱形,且△CED在△ABC的下方时,若AB=2,CE=2,求线段AE的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动,同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动,它们到达终点后停止运动.
(1)几秒后,点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍;
(2)几秒后,△DPQ的面积是24cm2.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点A(2,m).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)点B在轴的上,且OA=BA,反比例函数图像上有一点C,且∠ABC=90°,求点C坐标.
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