Question

19．观察下列各式的计算结果：
1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$
1-$\frac{1}{{3}^{2}}$=1-$\frac{1}{9}$=$\frac{8}{9}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$
1-$\frac{1}{{4}^{2}}$=1-$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$
1-$\frac{1}{{5}^{2}}$=1-$\frac{1}{25}$=$\frac{24}{25}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{6}{5}$ …
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$；           1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$；
（2）用你发现的规律计算：
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）×…×（1-$\frac{1}{201{4}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{201{5}^{2}}$）．

Answer 1

分析 （1）根据运算的规律类比得出结果即可；
（2）根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果．

解答 解：（1）1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$；
1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$；
（2）（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）×…×（1-$\frac{1}{201{4}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{201{5}^{2}}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2013}{2014}$×$\frac{2015}{2014}$×$\frac{2014}{2015}$×$\frac{2016}{2015}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2016}{2015}$
=$\frac{1008}{2015}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．