Question

已知二次函数y=-9x²-6ax-a²+2a(-

1

3

≤x≤

1

3

)有最大值-3，求实数a的值．

Answer 1

分析：本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数y=-9x²-6ax-a²+2a的对称轴是x=-

a

3

，而x的取值范围是-

1

3

≤x≤

1

3

，所以要对-

a

3

是否在x的取值范围内讨论求解．

解答：解：（1）若-

1

3

≤-

a

3

≤

1

3

，即-1≤a≤1，抛物线开口向下，当x=-

a

3

时，y_最大值=2a，
∵二次函数最大值-3，即a=-

3

2

与-1≤a≤1矛盾，舍去．
（2）若-

a

3

＜-

1

3

，即a＞1
当-

1

3

≤x≤

1

3

时，y随x增大而减小，当x=-

1

3

时，y_最大值=-a²+4a-1，
由-a2+4a-1=-3，解得a=2±

6

又a＞1，∴a=2+

6

（3）若-

a

3

＞

1

3

，即a＜-1
当-

1

3

≤x≤

1

3

时，y随x增大而增大，当x=

1

3

时，y_最大值=-a²-1，
由-a2-1=-3，解得a=±

2

又a＜-1，∴a=-

2

综上所述，a=2+

6

或a=-

2

点评：本题考查了二次函数的最值，难度适中，关键是掌握用分类讨论的思想进行解题．