Question

 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．把三角形沿AE对折使点C落在AB边上的点F上，CD与折痕AE相交于G，连结FG并延长交AC于H．

（1）判断FH与BC的位置关系，并说明理由；

（2）判断HG与DG的数量关系，并说明理由．

 

 

Answer 1

（1）FH∥BC；理由见解析；（2）HG=DG；理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）连接EF，根据翻折变换的性质可得∠CAE=∠EAF，∠AFE=90°，CE=EF，根据垂直的定义可得∠ADC=90°，然后根据同位角相等，两直线平行判断出EF∥CD，然后根据等角的余角相等求出∠AGD=∠AEC，再求出∠CGE=∠AEC，根据等角对等边可得CG=CE，然后求出CG=EF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形CEFG是平行四边形，根据平行四边形对边平行可得GF∥CE，即FH∥BC；

（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠AHG=∠ACB=90°，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得HG=DG．

试题解析：（1）【解析】
如图，连接EF，

由翻折的性质得，∠CAE=∠EAF，∠AFE=∠ACB=90°，CE=EF，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADC=∠AFE，

∴EF∥CD，

∵∠CAE=∠EAF，∠CAE+∠AEC=∠EAF+∠AGD=90°，

∴∠AGD=∠AEC，

又∵∠AGD=∠CGE（对顶角相等），

∴∠CGE=∠AEC，

∴CE=CG，

∴CG=EF，

∴四边形CEFG是平行四边形，

∴GF∥CE，

即FH∥BC；

（2）【解析】
∵FH∥BC，

∴∠AHG=∠ACB=90°，

又∵∠CAE=∠EAF，

∴HG=DG．

考点：翻折变换（折叠问题）．