Question

10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是对角线BD的中点，CE的延长线交AB于F，交DA的延长线于点G．
（1）求证：△CBE≌△GDE；
（2）若BC=3AD，求AF：BF的值．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得到∠G=∠ECB，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由△DEG≌△BCG，得到DG=BC，根据已知条件得到DG=3AD，于是得到AG=$\frac{2}{3}$BC，由△AGF∽△CBF，即可得到$\frac{AF}{BF}=\frac{AG}{BC}$=$\frac{2}{3}$．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠G=∠ECB，
在△DEG与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠ECB}\\{∠AEG=∠CEB}\\{DE=BE}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BCG，

（2）∵△DEG≌△BCG，
∴DG=BC，
∵BC=3AD，
∴DG=3AD，
∴AG=$\frac{2}{3}$BC，
∵AD∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{AG}{BC}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．