Question

15．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC边上一点且BD=2CD，连接AD并延长至E，使得AD=DE，求证：BE=$\frac{1}{2}$AE．

Answer 1

分析 作BD的中点F，连结EF．得出CD=DF，证得△ACD≌△EFD，得出∠C=∠EFD=90°，因此EF是BD的垂直平分线，得出DE=EB，整理求得答案即可．

解答 证明：如图，

作BD的中点F，连结EF，
∵BD=2CD，
∴CD=DF，
在△ACD和△EFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DF}\\{∠CDA=∠FDE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△EFD，
∴∠ACD=∠EFD=90°，
∴EF是BD的垂直平分线，所以DE=EB，
∵AD=DE，
∴EB=DE=AD，
∴BE=$\frac{1}{2}$AE．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，垂直平分线的性质，正确做出辅助线，证得三角形全等，得出垂直平分线解决问题．