Question

16．如图是长为20cm，宽为8cm的矩形纸片，M点为长BC边上的中点，沿过M的直线翻折．若顶点B落在对边AD上，那么折痕长度为5$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 过F作ME⊥AD于E，则四边形ABME为矩形，由矩形的性质得到AE=BF，AB=EM，分两种情况：（i）当G在AB上，B′落在AE上时，由折叠的性质得到B′M=BM，BG=B′G，由勾股定理求出B′E的长，由AE-B′E求出AB′的长，设AG=x，由AB-AG表示出BG，即为B′G，在Rt△AB′G中，由勾股定理得出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AG的长，进而求出BG的长，在Rt△GBM中，由勾股定理即可求出折痕MG的长；
（ii）当G在AE上，B′落在ED上，同理求出B′E的长，设A′G=AG=y，由AE+B′E-AG表示出GB′，在Rt△A′B′G中，由勾股定理得出方程，求出方程的解得到y的值，求出AG的长，由AE-AG求出GE的长，在Rt△GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长，即可得出答案．

解答 解：分两种情况：
（i）如图1所示，过M作ME⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四边形ABME为矩形，
∴EM=AB=8cm，AE=BM，
又∵BC=20，M为BC的中点，
∴由折叠可得：B′M=BM=$\frac{1}{2}$BC=10cm，
在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E=$\sqrt{B'{E}^{2}-E{M}^{2}}$=6，
∴AB′=AE-B′E=10-6=4，
设AG=x，则有GB′=GB=8-x，
在Rt△AGB′中，根据勾股定理得：GB′²=AG²+A′B′²，
即（8-x）²=x²+4²，
解得：x=3，
∴GB=8-3=5，
在Rt△GBM中，根据勾股定理得：GM=$\sqrt{G{B}^{2}-B{M}^{2}}$$\sqrt{G{B}^{2}+B{M}^{2}}$=5$\sqrt{5}$；
（ii）如图2所示，过M作ME⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四边形ABME为矩形，
∴EM=AB=16，AE=BM，
又BC=40，M为BC的中点，
∴由折叠可得：B′M=BM=$\frac{1}{2}$BC=10，
在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E═$\sqrt{B'{E}^{2}-E{M}^{2}}$=6，
∴AB′=AE+B′E=20+12=32，
设AG=A′G=y，则GB′=AB′-AG=AE+EB′-AG=32-y，A′B′=AB=16，
在Rt△A′B′G中，根据勾股定理得：A′G²+A′B′²=GB′²，
即y²+16²=（32-y）²，
解得：y=12，
∴AG=12，
∴GE=AE-AG=20-12=8，
在Rt△GEM中，根据勾股定理得：GM=$\sqrt{G{E}^{2}+E{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
综上所述，折痕MG=5$\sqrt{5}$cm或4$\sqrt{5}$cm．
故答案为：5$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的判定与性质，勾股定理，利用了方程、转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．