Question

2．如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E、F、G三点，连接FE，FG．
（1）求证：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4$\sqrt{5}$，D为AE的中点，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）连接EC，则∠AEC=90°，由同角的余角相等即可得出∠B=∠ECA，再根据圆周角定理即可得出∠ECA=∠EFG，由此即可证出∠EFG=∠B；
（2）由AC、BC的长度利用勾股定理即可求出AB的长度，结合面积法即可得出CE的长度，由正切即可得出AE的长度，再利用勾股定理可求出CD的长度，连接FD、DG，由矩形的判定定理即可证出四边形FCGD为矩形，利用矩形的性质即可得出FG=CD，此题得解．

解答 （1）证明：连接EC，如图1所示．
∵CD为直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠BCE+∠B=90°．
∵∠BCE+∠ECA=90°，
∴∠B=∠ECA．
又∵∠ECA=∠EFG，
∴∠EFG=∠B；
（2）解：在Rt△BCA中，AC=4$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
∵BC•AC=AB•CE，
∴CE=4．
∵tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2CE=8．
在Rt△DCG中，CE=4，ED=$\frac{1}{2}$AE=4，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+E{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
连接FD、DG，如图2所示．
∵CD是直径，
∴∠CFD=∠CGD=90°，
又∵∠FCG=90°，
∴四边形FCGD为矩形，
∴FG=CD=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据同角的余角相等找出∠B=∠ECA；（2）证出四边形FCGD为矩形．