Question

20．已知：如图（1）四边形ABCD和四边形GCEF为正方形，B、C、E在同一直线．
（1）试判断BG、DE的位置关系，请直接写出结论：BG⊥DE；
（2）若正方形GCEF绕C点顺时针旋转到图（2）的位置，（1）的结论是否仍成立？若成立，给予证明，若不成立？请说明理由．
（3）在图（2）中，若正方形ABCD的边长为6，正方形CEFG边长为3，连结BE，DG求BE²+DG²的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知，利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的对应角相等，所以∠CBG=∠CDE，∠BGC=∠DEC，因为∠CBG+∠BGC=90°，所以∠BHE=90°，得出结论；
（2）四边形ABCD是正方形推出△BCG≌△DCE．全等三角形的对应角相等，所以∠CBG=∠CDE，等量代换得出∠DOH=90°，推出BG⊥DE；
（3）利用勾股定理得出BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，进而得出答案即可．

解答 （1）解：延长BG与DE交于点H，
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∵在△BCG与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CBG=∠CDE，∠BGC=∠DEC，
∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CBG+∠DEC=90°，
∴∠BHE=90°，
∴BG⊥DE，
故答案为：BG⊥DE．

（2）仍成立．
证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∵在△BCG与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．

（3）∵BG⊥DE，
∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，
又∵AB=6，CE=3，
∴BD=6$\sqrt{2}$，GE=3$\sqrt{2}$，
∴BD²+GE=${（6\sqrt{2}）}^{2}$+${（3\sqrt{2}）}^{2}$=90，
∴BE²+DG²=90．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，熟练利用全等三角形的性质是解此题关键．