Question

8．如图，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=12，CD=4.5，则AC=9．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出CD=DE=4.5，根据勾股定理求出BE，根据勾股定理得出关于AC的方程，求出方程的解即可．

解答 解：如图：

过D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，CD=4.5，
∴DE=CD=4.5，∠AED=∠DEB=∠C=90°，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（12-4.5）^{2}-4．{5}^{2}}$=6，
∵由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AC²=AD²-CD²，
∴AC=AE，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
即AC²+12²=（AC+6）²，
解得：AC=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用，能根据角平分线性质求出CD=DE和求出关于AC的方程是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．