Question

15．观察下列等式：
①1-1-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{1×2}$；
②$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3×4}$；
③$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$=-$\frac{1}{5×6}$；
④$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$=-$\frac{1}{7×8}$；
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第⑤个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）并证明其正确性．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得，左边的第2项和第3项的分母分别是连续的奇数和偶数，右边的分母为是左边第2项和第3项的分母之积，由此可得第5个等式；
（2）根据（1）中的规律，用含n的代数式表示，再利用分式的运算进行证明．

解答 解：（1）∵左边的第2项和第3项的分母分别是连续的奇数和偶数，右边的分母为是左边第2项和第3项的分母之积，
∴第5个等式为：$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$=-$\frac{1}{9×10}$；

（2）第n个等式为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=-$\frac{1}{2n（2n-1）}$，
证明：左边=$\frac{2（2n-1）-2n-（2n-1）}{2n（2n-1）}$=-$\frac{1}{2n（2n-1）}$，
右边=-$\frac{1}{2n（2n-1）}$，
∴左边=右边，
∴原式成立．

点评 本题主要考查了规律猜想型问题，关于等式的规律探索：用含字母的代数式来归纳，注意字母往往还具有反映等式序号的作用．