Question

2．某课桌生产厂家研究发现，倾斜为12°-24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1所示，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．
（1）如图2中，当CD⊥AB于D时，测得∠BAC=24°，求此时支撑臂CD的长．
（2）在图3中，当CD不垂直AB时，测得∠BAC=12°，求此时AD的长（结果保留根号）．[参考数据：sin24°=0.40，cos24°=0.91，tan24°=0.46，sin12°=0.20]

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中利用锐角三角函数关系得出sin24°=$\frac{CD}{AC}$，代入数值计算即可求出CD的长；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACE中利用锐角三角函数关系得出sin12°=$\frac{CE}{AC}$，求出CE的长，再根据勾股定理求出DE，AE的长，进而得出AD的长．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，∵∠DAC=24°，∠ADC=90°，
∴sin24°=$\frac{CD}{AC}$，
∴CD=AC•sin24°=30×0.40=12cm；
∴此时支撑臂CD的长为12cm；

（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
当∠BAC=12°时，
∴sin12°=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{CE}{30}$，
∴CE=30×0.20=6cm，
∵CD=12cm，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$cm，
∴AE=$\sqrt{3{0}^{2}-{6}^{2}}$=12$\sqrt{6}$cm，
∴AD的长为（12$\sqrt{6}$+6$\sqrt{3}$）cm或（12$\sqrt{6}$-6$\sqrt{3}$）cm．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解决第（2）小题的关键．