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如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,-n),且经过原点O,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m,n(m<n)分别是方程x2-2x-3=0的两根.

(1)求m,n的值.
(2)求抛物线的解析式.
(3)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD,BD.当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标.
(1)m=-1,n=3;(2)y=-x2+x;(3)P1,-),P2,-),P3,-).

试题分析:(1)解方程即可得出m,n的值.
(2)将A,B两点的坐标代入,进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可;
(3)首先求出AB的直线解析式,以及BO解析式,再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时,当OP=PC时,点P在线段OC的中垂线上,当OC=PC时分别求出x的值即可.
试题解析:(1)解方程x2-2x-3=0,
得 x1=3,x2=-1.
∵m<n,
∴m=-1,n=3.
(2)∵m=-1,n=3,
∴A(-1,-1),B(3,-3).
∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为y=ax2+bx(a≠0).
,解得:
∴抛物线的解析式为y=-x2+x.
(3)设直线AB的解析式为y=kx+b.
,解得:
∴直线AB的解析式为y=-x-
∴C点坐标为(0,-).
∵直线OB过点O(0,0),B(3,-3),
∴直线OB的解析式为y=-x.
∵△OPC为等腰三角形,
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.
设P(x,-x),
(i)当OC=OP时,x2+(-x)2=
解得x1=,x2=-(舍去).
∴P1,-).
(ii)当OP=PC时,点P在线段OC的中垂线上,
∴P2,-).
(iii)当OC=PC时,由x2+(-x+2=
解得x1=,x2=0(舍去).
∴P3,-).
∴P点坐标为P1,-),P2,-),P3,-).
考点: 二次函数综合题.
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(1)求m的值;
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