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3.如图,以点B为顶点的抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)分别交x轴,y轴负半轴于点A,C,BD⊥y轴交y轴于点D(0,-4),点P在抛物线上运动.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线AC的下方是否存在点P,使得△ACP面积最大?若存在,求出P点坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过P作直线PE⊥直线BD,交BD于点E,将△BPE沿BP折叠到△BPF,使点F恰好落在x轴上?若存在,求P点坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)由题意可知点B的纵坐标为-4,然后将抛物线的解析式可变形为y=a(x+1)2-4a,故此可求得a的值,然后可求得抛物线的解析式;
(2)先求得点A和点C的坐标,然后再求得直线AC的解析式,设点P的坐标为(x,x2+2x-3),过点P作PG⊥x轴交AC与点H,则H(x,-x-3).然后用含x的式子表示出PH的长,最后依据三角形的面积公式得到S△PAC与x的函数关系,最后利用二次函数的性质求解即可;
(3)过点B作BG⊥x轴与G点,直线PE交x轴于点Q,由翻折的性质得到PF=PE,BF=BE,∠PFB=∠PEB=90°,设P(t,t2+2t-3),则E(t,-4),Q(t,0),则∴PF=PE=t2+2t+1,BF=BE=|t+1|.接下来,证明△PQF∽△FGB.,依据相似三角形的性质可得到关于t的方程,最后依据方程是否有解即可作出判断.

解答 解:(1)∵点D的坐标为(0,-4),BD⊥y轴,
∴点B的纵坐标为-4.
由y=ax2+2ax-3a=a(x2+2x-3)=a(x2+2x+1-4)=a(x+1)2-4a,
∴-4a=-4,解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
(2)令y=0得:x2+2x-3=0,解得:x=-3或x=1,
∴点A(-3,0).
令x=0得y=-3,
∴C(0,-3).
设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A和点C的解析式代入得:$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$,
解得:k=-1,b=-3.
∴直线AC的解析式为y=-x-3.
如图所示:

设点P的坐标为(x,x2+2x-3),过点P作PG⊥x轴交AC与点H,
则H(x,-x-3).则PH=(-x-3)-(x2+2x-3)=-x2-3x.
∴S△PAC=$\frac{1}{2}$×3×(-x2-3x)=-$\frac{3}{2}$(x+$\frac{3}{2}$)2+$\frac{27}{8}$.
∵点P在直线AC的下方,
∴-3<t<0,
∴x=-$\frac{3}{2}$时,△ACP的面积最大.
此时点P的坐标为(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{15}{4}$).
(3)不存在.

理由如下:如图,过点B作BG⊥x轴与G点,直线PE交x轴于点Q,△BPF由△BPE沿BP折叠而成.
∴PF=PE,BF=BE,∠PFB=∠PEB=90°.
设P(t,t2+2t-3),则E(t,-4),Q(t,0).
∴PF=PE=t2+2t+1,BF=BE=|t+1|.
∵∠GBF+∠GFB=90°,∠PFQ+∠BFG=90°,
∴∠PFQ=∠GBF.
又∠PFB=∠PEB=90°.
∴△PQF∽△FGB.
∴$\frac{PF}{FB}=\frac{QF}{GB}$.
在Rt△PQF中,QF=$\sqrt{({t}^{2}+2t+1)^{2}-({t}^{2}+2t-3)^{2}}$=2$\sqrt{2({t}^{2}+2t-1)}$.
∴$\frac{{t}^{2}+2t+1}{|t+1|}=\frac{2\sqrt{2({t}^{2}+2t-1)^{2}}}{4}$,整理得:t2+2t+3=0,
∵△<0,
∴方程无解.
∴不存在这样的点P.

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的性质和判定,一元二次方程根的判别式,证得△PQF∽△FGB,然后依据相似三角形的性质列出关于t的方程是解题的关键.

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