Question

如图，在?ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，求点E到直线AB的距离．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：过E作EM⊥AB，由在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，易证得△ADF是等腰三角形，又由点F为边DC的中点，可求得AG=GF=

3

，又由△ADF∽△ECF，即可求得AE长，再利用三角函数可算出EM的长．

解答：解：过E作EM⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，
∴∠AFD=∠BAF，
∵点F为边DC的中点，
∴DF=

1

2

CD=2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF=2，
∵DG⊥AE，
∴AG=FG=

AD2-DG2

=

3

，∴AF=2

3

，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴AF：EF=DF：CF=1，
∴EF=AF=2

3

，
∴AE=4

3

．
∵AD=2，DG=1，∠DGA=90°，
∴sin∠DAG=

DG

AD

=

1

2

，
∴sin∠EAB=

1

2

，
∴EM=4

3

×

1

2

=2

3

．
∴点E到直线AB的距离是2

3

．

点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．