Question

12．【定义】
若一个四边形恰好关于其中一条对角线所在的直线对称，则我们将这个四边形叫做镜面四边形．
【理解】
（1）下列说法是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
①平行四边形是一个镜面四边形．（×　）
②镜面四边形的面积等于对角线积的一半．（√　）
（2）如图（1），请你在4×4的网格（每个小正方形的边长为1）中画出一个镜面四边形，使它图（1）的顶点在格点上，且有一边长为$\sqrt{5}$．
【应用】
（3）如图（2），已知镜面四边形ABCD，∠BAD=60°，∠ABC=90°，AB≠BC，P是AD上一点，AE丄BP于E，在BP的延长线上取一点F，使EF=BE，连接AF，作∠FAD的平分线AG交BF于G，CM丄BF于M，连接CG．
①求∠EAG的度数．
②比较BM与EG的大小，并说明理由．
③若以线段CB，CG，AG为边构成的三角形是直角三角形，求cos∠CBM的值（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质和镜面四边形的定义，直接判断；
（2）由镜面四边形的意义，得到必有两边是$\sqrt{5}$，一个直角，画出图形即可
（3）①根据角平分线的定义得到∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAF，∠GAF=$\frac{1}{2}$∠FAD计算；②先判断△ABE∽△BCM，通过计算判断出BM=EG，③分两种情况，AG和CG为斜边，利用勾股定理计算即可．

解答 解：（1）①∵平行四边形不关于任何一条对角线对称，
∴错误，
故答案×；
②∵镜面四边形关于对角线对称，
∴镜面四边形的两条对角线互相垂直，
∴镜面四边形的面积等于对角线积的一半；
故答案为√．
（2）如图1

∵有一边长为$\sqrt{5}$．
∴镜面四边形必有两边是$\sqrt{5}$．
（3）①∵AE⊥BP，EF=BE，
∴AB=AF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAF，
∵∠GAF=$\frac{1}{2}$∠FAD，
∴∠EAG=∠EAF-∠GAF=$\frac{1}{2}$∠BAF-$\frac{1}{2}$∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°；
②BM=EG，
理由如下：连接AC，
∵∠ABC=90°，
∴AB=$\sqrt{3}$BC，
∵∠ABC=∠AEB=∠CMB=90°，
∴∠BAE+∠ABF=∠ABP+∠ABF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE∽△BCM，
∴$\frac{AE}{BM}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$BM，
∵∠EAG=30°，AE⊥BP，
∴AE=$\sqrt{3}$EG，
∴BM=EG；
③cos∠CBM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$或$\frac{\sqrt{10}}{4}$
设BM=x，BC=y，
∴CM=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$，
∵△ABE∽△BCM，
∴$\frac{AE}{BM}=\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CM}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$BM，AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$y，BE=$\sqrt{3}$y=$\sqrt{3（{y}^{2}-{x}^{2}）}$，
∴BG=BE+EG=$\sqrt{3（{y}^{2}-{x}^{2}）}$+x，
∵EG=BM=x
MG=BE=y=$\sqrt{3（{y}^{2}-{x}^{2}）}$，
∴CG=$\sqrt{M{C}^{2}+M{G}^{2}}$=2$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$，
∵AE⊥BP，∠EAG=30°，
∴AG=2EG=2x，
由题意得AG＞BC，
以线段CB，CG，AG为边构成的三角形是直角三角形，只有两种AG为斜边或CG为斜边；
①AG为斜边，
∴CB²+CG²=AG²，
∴y²+（2$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$）²=（2x）²，
∴y=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$x或y=-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$x（舍），
∴BM=x，BC=y=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$x，
∴cos∠CBM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
②CG为斜边，
∴CB²+AG²=CG²，
∴y²+（2x）²=（2$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$）²，
∴y=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x或y=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x（舍），
∴BC=y=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x，BM=x，
∴cos∠CBM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
cos∠CBM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$或$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，角平分线的意义，相似三角形判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，利用勾股定理和相似表示线段世界本题的关键，也是难点．