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【题目】如图,已知二次函数的图象经过A(3,0),B(0,1),C(2,2)三点.

(1)求二次函数的解析式;

(2)设点D(,m )在二次函数的图象上,将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE,使得射线CE与轴的正半轴交于点E,且经过点D,射线CF与线段OA交于点F.求证:BE=2FO;

(3)是否存在点H(n,2),使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形?若存在,有几个符合条件的点H?(直接回答,不必说明理由)

【答案】(1)二次函数的解析式为

(2)证明见解析;

(3)存在4个符合条件的点H,使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形.

【解析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可;(2)证明Rt△NBC≌Rt△MAC和△ACF≌△BCE, 得出AF=BE,然后利用一次函数求出BE=2FO;(3)最后直接求出符合条件△ADH是直角三角形的点H.

(1)解:把A(3,0),B(0,1),C(2,2)代入

∴二次函数的解析式为

(2)过点C作CM⊥OA于点M,CN⊥y轴于点N,

∵A(3,0),B(0,1),C(2,2),

∴CM= CN=2,CA=CB=

∴Rt△NBC≌Rt△MAC,

∴∠CAF=∠CBE,

∵将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE,

∴∠FCE=∠ACB,

∴∠FCE-∠BCF=∠ACB-∠BCF,

即∠ACF=∠BCE,

又∵CB=CA,∴△ACF≌△BCE,

∴AF=BE.

∵二次函数的解析式为

时, ,∴

设直线CD: ,把C(2,2)、代入得

, 解得

∴直线CD:

∴E(0,3),BE=2, ∴AF=BE=2 ,

∴FO=OA-AF=1.

∴BE=2FO.

(3)存在4个符合条件的点H,使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形.

“点睛”本题考查了二次函数的综合题,熟练掌握运用待定系数法求函数解析式;熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征,根据题意利用一次函数求出BE=2FO是解答此题的关键.

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