Question

12．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D．
（1）AD与BD相等吗？为什么？
（2）若AB=10，AC=6，求CD的长；
（3）若P为⊙O上异于A、B、C、D的点，试探究PA、PD、PB之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）结论：AD=BD．只要证明$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$即可．
（2）如图2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），推出AF=BG，由Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），推出CF=CG，由△CDF是等腰直角三角形，得CD=$\sqrt{2}$CF，求出CF即可解决问题．
（3）分三种情形讨论①如图3中，当点P在$\widehat{AB}$上时，结论：PA+PB=$\sqrt{2}$PD．②如图4中，当点P在$\widehat{BD}$上时，结论：PA-PB=$\sqrt{2}$PD．③如图5中，当点P在$\widehat{AD}$上时，结论：PB-PA=$\sqrt{2}$PD．

解答 解：（1）结论：AD=BD．
理由：如图1中，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，
$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴DA=DB．

（2）如图2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．

∵∠AFD=∠BGD=90°，
在Rt△ADF和Rt△BDG，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∴6+AF=8-AF，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CF=7$\sqrt{2}$．

（3）①如图3中，当点P在$\widehat{AB}$上时，结论：PA+PB=$\sqrt{2}$PD．

理由：将△PDB绕点D逆时针旋转90°得到△FAD，
∵∠PAB+∠PBD=180°，∠FAD=∠PBD，
∴∠FAD+∠PAD=180°，
∴P、A、F共线，
∵∠F=∠DPB=∠BAD=45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PF=$\sqrt{2}$PD，∵PB=AF，
∴PF=PA+AF=PA+PB=$\sqrt{2}$PD．，
∴PA+PB=$\sqrt{2}$PD．

②如图4中，当点P在$\widehat{BD}$上时，结论：PA-PB=$\sqrt{2}$PD．

理由：在AP上取一点F，使得AF=PB，
在△FAD和△PBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=PB}\\{∠FAD=∠PBD}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△PBD，
∴DF=DP，∠ADF=∠BDP，
∠FDP=∠ADB=90°，
∴△FDP是等腰直角三角形，
∴PF=$\sqrt{2}$PD，
∴PA-PB=PA-AF=PF=$\sqrt{2}$PD，
∴PA-PB=$\sqrt{2}$PD．

③如图5中，当点P在$\widehat{AD}$上时，结论：PB-PA=$\sqrt{2}$PD．（证明方法类似②）．

点评 本题考查圆综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思考思考问题，属于中考压轴题．