Question

抛物线y=-x²+6x-5与x轴交点为A，B（A在B左侧），顶点为D．与Y轴交于点C．
（1）求△ABC的面积．
（2）若在抛物线上有一点M，使△ABM的面积是△ABC的面积的2倍．求M点坐标．
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当x=0时求出y的值，当y=0时求出x的值，画出函数的大致图象如图1，求出AB的值由三角形的面积公式就可以求出结论；
（2）设M（m，-m²+6m-5），由三角形的面积公式建立方程求出m的值即可；
（3）由轴对称的性质连结CB交对称轴于点Q，求出直线CB的解析式就可以求出，由抛物线的对称轴就可以求出Q的坐标．

解答：解：（1）如图1，

当x=0时，y=-5．
∴C（0，-5）．
∴OC=5
当y=0时，-x²+6x-5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴A（1，0），B（5，0）．
∴AB=4，
∴S△_ABC=

4×5

2

=10．
答：△ABC的面积为10；
（2）如图2，

∵y=-x²+6x-5，
∴y=-（x-3）²+4
∴顶点E坐标为（3，4）．
当M在x轴的上方时，三角形ABM的最大值为：

4×4

2

=8≠20．
∴M在x轴的下方．
设M（m，-m²+6m-5），
∴△ABM的AB边上的高为m²-6m+5，
∴

4(m2-6m+5)

2

=20，
解得：m₁=3+

14

，m₂=3-

14

，
∴M（3+

14

，-10）或（3-

14

，-10）；
（3）如图3，

连结CB交对称轴于点Q，直线CB的解析式为y=kx+b，由题意，得

-5=b 0=5k+b

，
解得：

k=1 b=-5

，
∴y=x-5．
当x=3时，
y=-2，
∴Q（3，-2）．

点评：本题考查了二次函数的解析式的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时运用二次函数的性质求解是关键．