Question

25、在菱形ABCD中，∠B=60°，AC是对角线．
（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF．
①求证：△ABE≌△ACF；
②求证：△AEF是等边三角形．
（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质得到AB=BC，∠ACB=∠ACF，根据SAS判定：△ABE≌△ACF；
（2）由全等得到AE=AF，∠BAE=∠CAF，因为∠BAE+∠CAE=60°，所以∠CAF+∠CAE=60°，即△AEF是等边三角形．

解答：解：证明：（1）
①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，∠ACB=∠ACF（2分）
又∵∠B=60°
∴△ABC是等边三角形（1分）
∴AB=AC，∠ACB=60°
∴∠B=∠ACF（1分）
∵BE=CF
∴△ABE≌△ACF；（1分）

②由△ABE≌△ACF
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF（2分）
∵∠BAE+∠CAE=60°
∴∠CAF+∠CAE=60°，即∠EAF=60°
∴△AEF是等边三角形．（2分）

（2）存在（1分）
证明：在CD延长线上取点F，使CF=BE
与（1）①同理可证△ABE≌△ACF（2分）
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF（1分）
∴∠CAF-∠CAE=∠BAE-∠CAE
∴∠EAF=∠BAC=60°
∴△AEF是等边三角形．（1分）
注：若在CD延长线上取点F，使CE=DF亦可．

点评：此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定方法等知识点，做题时要求学生对其灵活运用．