Question

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O
（1）求证：点D在⊙O上；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AC=6，BC=8，求BE的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD=OA=OE，可得出点D在圆O上；
（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O的切线；
（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到△ACB与△ODB相似，设OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD与BE的长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵△ADE是直角三角形，OA=OE，
∴OD=OA=OE，
∴点D在⊙O上；

（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（3）解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴根据勾股定理得：AB=10，
设OD=OA=OE=x，则OB=10-x，
∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{BO}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{x}{6}$=$\frac{10-x}{10}$，
解得：x=$\frac{15}{4}$，
∴OD=$\frac{15}{4}$，BE=10-2x=10-$\frac{15}{2}$=$\frac{5}{2}$．

点评 此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．