Question

【题目】在平面上，边长为的正方形和短边长为的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积．

甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；

甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积大小不变．

乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．

丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是个图形中最小的．

下列说法正确的是（ ）

A.甲、乙、丙都对B.只有乙对C.只有甲不对D.甲、乙、丙都不对

Answer 1

【答案】C

【解析】

本题重叠部分面积需要结合图形特点，利用对称性质，通过假设未知数表示未知线段，利用面积公式求解，并根据线段范围判别面积大小．

如图一所示，设AI=x，BJ=y，则有x+y=AB-IJ=2-1=1，重叠部分四边形JILK面积为2．

如图二所示，设AI=x，BJ=y，

因为JM=HE=1，△JIM为直角三角形，斜边JI大于直角边JM，

故有：x+y＜1，重叠部分平行四边形JILK面积为．

如图三所示，设AI=x（0＜x＜1），BJ=y=0，重叠部分四边形JIDK面积为．

在由图一到图三的转变过程中，x+y的取值逐渐减小，则重叠部分面积逐渐增大，故甲同学说法错误．

如图四所示，设AI=AN=x（1＜x＜2），重叠部分多边形BINDKM面积为．

当0＜x＜2时， ，所以图四重叠部分的面积大于图三重叠部分面积，乙同学说法正确．

如图五所示，设AI=AN=x，所以重叠部分四边形INDB面积为，

因为，所以重叠部分面积小于2，即小于图一重叠面积．

综上，图一到图四重叠部分面积逐渐增大，图五面积小于图一，故图五面积最小，丙同学说法正确．

故答案为C选项．