Question

【题目】如图，已知的圆心为点，抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．

（1）求B、C点坐标和抛物线的解析式；

（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

Answer 1

【答案】（1）点B、C的坐标分别为(2，2)、(5，1)，；（2）点E在抛物线上，理由见解析；（3）或y＝2x﹣1．

【解析】

（1）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的性质和判定可以得到点B和点C的坐标，然后将点B和C的坐标代入抛物线解析式，即可得到答案；

（2）根据（1）中的抛物线的解析式可以得到点D的坐标，从而可以求得直线BD的解析式，然后根据点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，即可得到点E的坐标，然后将点E的横坐标代入抛物线解析式，即可得到相应的纵坐标，即可判断点E是否在抛物线上；

（3）根据题意，画出相应的辅助线，然后利用分类讨论的方法可以求出满足条件的直线解析式．

解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，

∠BAR+∠RBA＝90°，∠BAR+∠CAS＝90°，

∴∠RAB＝∠SCA，

又∵AB＝AC，

∴（AAS），

∴AS＝BR，AR＝CS，

∵B、C两点的纵坐标分别是2、1，

∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，

故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），

将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣x+c，

解得：

故抛物线的表达式为

（2）∵直线y＝kx+1经过点B（2，2），

∴2＝2k+1，得

即直线

当y＝0时， 得x＝﹣2，

即点D的坐标为（﹣2，0），

∵点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），

∴ AD＝5，

∵点E在直线BD上，

∴设E的坐标为，

∵AD＝AE，

∴

解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝6，

∴点E（6，4），

当x＝6时，

∴点E在抛物线上；

（3）①当切点在x轴下方时，

设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，

直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，

∵AR＝1， ∠BRA＝90°，点A（3，0），点G（0，﹣1），

∴AB＝ AG＝

∴AH＝AB＝

∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠OKG，

∴，

∴ ，

即：

解得：KO＝2或（舍去），

经检验：符合题意，

∴点K的坐标为（﹣2，0），

把点K的坐标代入y＝k1x﹣1，得

0＝﹣2k1﹣1，得k1＝，

∴直线的表达式为；

②当切点在x轴上方时，如图，切点为，

记与轴交于点，

设 则

由勾股定理得：

解得：（舍去）

经检验：符合题意，

把 代入y＝k1x﹣1，

此时切线为：

故满足条件的直线解析式为或y＝2x﹣1．