Question

设实数x满足：，求2|x-1|+|x+4|的最小值

Answer 1

解：原不等式两边同乘以30，得：15（3x-1）-10（4x-2）≥6（6x-3）-39，
化简得：-31x≥-62，
解得：x≤2，（5分）
设y=2|x-1|+|x+4|，
（1）当x≤-4时，y=-2（x-1）-（x+4）=-3x-2
所以，y的最小值都为（-3）×（-4）-2=10，此时x=-4；（10分）
（2）当-4≤x≤1时，y=-2（x-1）-（x+4）=-3x-2
所以，y的最小值为5，此时x=1；（15分）
（3）当1≤x≤2时，y=2（x-1）+（x+4）=3x+2
所以，y的最小值为5，此时x=1．（20分）
综上所述，2|x-1|+|x+4|的最小值为5，在x=1时取得．（25分）
分析：首先解出不等式的解集，再根据所求代数式的绝对值确定x的取值范围，根据x的取值范围确定代数式的最小值即可．
点评：本题考查了解绝对值代数式最值及不等式的解法．解带绝对值代数式的最值是本题的一个难点．