Question

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．说明：
（1）CD=EB；
（2）AB=AF+2EB．

Answer 1

分析 （1）由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD与三角形BDF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）利用AAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证．

解答 证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
在Rt△CFD和Rt△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BD}\\{CD=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），
∴CD=EB；
（2）在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠ACD=∠AED=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE，
∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．