Question

14．四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB，求证：$\frac{BE}{DE}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$．

Answer 1

分析 先证明△ABC∽△ADC，得出面积比等于相似比的平方：$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$，再由三角形的面积关系求出$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BE}{DE}$，即可得出结论．

解答 证明：∵AC为AB、AD的比例中项，
∴AC²=AB•AD，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴△ABC∽△ADC，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$，
∵$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△CDE}}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{{S}_{△ABE}+{S}_{△BCE}}{{S}_{△ADE}+{S}_{△CDE}}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．