Question

如图，M是△ABC的BC边的中点，P是线段AM的中点，直线CP交AB边于点D．
试求

BD

AD

及

CP

PD

的值．

Answer 1

分析：作MQ∥CD交AB于Q，根据M是BC的中点可知Q为BD的中点，即BQ=DQ，可求出

BD

AD

=2，进而可求出

CP

PD

的值．

解答：解：解法1（面积法）：令

BD

AD

=t，S_△PAD=x，连接BP，则S_△PBD=tx，
∵点M是△ABC的BC边的中点，
∴S_△PBM=S_△PCM，S_△ABM=S_△ACM．
∴S_△ABM-S_△PBM=S_△ACM-S_△PCM，即S_△ACB=S_△ABP=（t+1）x．
又∵P是线段AM的中点，
∴S_△PBM=S_△PCM=S_△ACP=（t+1）x．
∵

DP

PC

=

S△ADP

S△ACP

=

S△PBD

S△PCB

，
∴

x

(t+1)x

=

tx

2(t+1)x

．
解得，t=2即

BD

AD

=2，

CP

PD

=

S△ACP

S△ADP

=

(t+1)x

x

=t+1=3；
解法2，（中位线定理及其逆定理）：
作MQ∥CD交AB于Q，
∵M是BC的中点知Q为BD的中点，即BQ=DQ．
又∵P是线段AM的中点，可得AD=DQ．从而

BD

AD

=2．
∴CD=2MQ=4PD．
∴

CP

PD

=

CD-PD

PD

=3．

点评：本题考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形中位线定理进行证明．