Question

【题目】如图，直线l1：y＝6x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，直线l2：y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点．

（1）在直线l2上找一点E，使|AE﹣DE|的值最大，并求|AE﹣DE|的最大值．

（2）以AB为边作矩形ABMN，点C在边MN上，动点P从B出发，沿射线BM方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB'．是否存在点P，使得△PMB'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的点P的坐标？若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）满足条件的点P的坐标为（3，）或（3，）．

【解析】

（1）如图1中，作点D关于直线y＝﹣x+3的对称点D′，连接CD′，AD′，延长AD′交直线BC于E，点E即为所求．证明△DCD′是等腰直角三角形求出点D′的坐标即可解决问题．

（2）分两种情形：如图2﹣1中，当∠PB′M＝90°时，A，B′，M共线．如图2﹣2中，当∠PMB′＝90°时，点B′落在MN上．分别利用勾股定理，相似三角形的性质求解即可．

解：（1）∵直线l1：y＝6x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，直线l2：y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，

∴A（﹣1，0），D（0，6），B（3，0），C（0，3），

如图1中，作点D关于直线y＝﹣x+3的对称点D′，连接CD′，AD′，延长AD′交直线BC于E，点E即为所求．

∵OC＝3，OD＝6，

∴CD＝3，

∵∠DCE＝∠OCB＝∠ECD′＝45°，

∴∠DCD′＝90′，

∴D′（﹣3，3），

∴AD′＝，

∴|AE﹣DE|的最大值＝AD′＝．

（2）如图2﹣1中，当∠PB′M＝90°时，A，B′，M共线．

在Rt△ABM中，∵∠ABM＝90°，AB＝4，BM＝3，

∴AB＝，

∵AB＝AB′＝4，

∴MB′＝5﹣4＝1，设PB＝PB′＝x，

在Rt△PMB′中，则有（3﹣x）2＝x2+12，

解得：x＝，

∴P（3，）．

如图2﹣2中，当∠PMB′＝90°时，点B′落在MN上．

在Rt△ANB′中，∵∠N＝90°，AB′＝AB＝4，AN＝3，

∴NB′＝，

∵∠AB′P＝∠M＝∠N＝90°，

∴∠NAB′+∠AB′N＝90°，∠AB′N+∠PB′M＝90°，

∴∠NAB′＝∠MB′P，

∴△ANB′∽△B′MP，

∴，

∴，

∴PB′＝，

∴PB＝PB′＝，

∴P（3，），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，）或（3，）．