Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P 的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点的坐标代入抛物线解析式可坟得a、b的值，可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线的对称性可求得C点坐标，再求△ABC的面积即可；
（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，-m²+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；
（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理ON的长即可．

解答 解：
（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax²+bx中，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=16a+4b}\\{3=a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$：，
∴抛物线表达式为y=-x²+4x；
（2）∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴抛物线对称轴为x=2，
∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3），
∴C（3，3），
∴BC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）如图1，过P点作PD⊥BH交BH于点D，

设点P（m，-m²+4m），
根据题意，得：BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，
∴S_△ABP=S_△ABH+S_{四边形HAPD}-S_△BPD，
∴6=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m²-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m²-4m），
∴3m²-15m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=5，
∴点P坐标为（5，-5）；
（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，

则△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴N（2，0）；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，

作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，
得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴EM=CD=5，
∵OH=1，
∴ON=NH-OH=5-1=4，
∴N（-4，0）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，

同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴ME=NH=DN=3，
∴ON=3-1=2，
∴N（-2，0）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，

同理得ME=DN=NH=3，
∴ON=1+3=4，
∴N（4，0）；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（-4，0）或（-2，0）或（4，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意利用抛物线的对称性，在（3）中用P点坐标表示出△ABP的面积是解题的关键，在（4）中分三种情况分别求得ON的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．