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【题目】如图,已知锐角△ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,M、N分别是线段BC、DE的中点.

(1)求证:MN⊥DE.

(2)连结DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系,并证明猜想.

(3)当∠A变为钝角时,如图,上述(1)(2)中的结论是否都成立, 若结论成立,直接回答,不需证明;若结论不成立,说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)∠DME=180°-2∠A,理由见解析;(3)结论(1)成立, 结论(2)不成立.

【解析】试题分析

1如图,连接DMME,由CDBE是△ABC的高可得∠BDC=BEC=90°,结合点MBC的中点,可得ME=BCMD=BC,由此可得ME=MD,再结合点NDE的中点,利用等腰三角形的“三线合一”可得:MNDE

2)由(1)可知:DM=ME=BM=MC∠DBM=∠BDM∠ECM=∠CEM由此可得:∠DMB=180°-2∠DBM∠EMC=180°-2∠ECM结合∠DME=180°-∠DMB-∠EMC可得∠DME=2(∠DBM+∠ECM)-180°再结合∠DBM+∠ECM=180°-∠A可得∠DME=180°-2∠A

31)中思路一样可证得在当∠A为钝角时,原来(1中的结论成立;∠A为钝角时可知,DM=ME=BM=MC,则∠MCE=∠MEC∠MBD=∠MDB,由此可得∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE∠CMD=∠MBD+∠MDB=2∠MBD,结合∠DME=180°-∠BME-∠CMD,可得∠DME=180°-2(∠MBD+∠MCE),再结合∠MBD+∠MCE)=180°-∠A可得∠DME=2∠A-180°从而可得原2)中的结论不成立.

试题解析

1)如图,连接DMME

∵CDBE分别是ABAC边上的高,MBC的中点,

DM=BCME=BC

∴DM=ME

∵NDE中点,

∴MN⊥DE

2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A

∵DM=ME=BM=MC

∠DBM=∠BDM∠ECM=∠CEM

∴∠BMD=180°-2∠DBM∠CME=180°-2∠ECM

∴∠BMD+∠CME=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2∠ABC+∠ACB=360°-2180°-∠A=2∠A

∴∠DME=180°-2∠A

3)结论(1)成立, 结论(2)不成立,

理由如下:

如图,连接DMME

∵CDBE分别是ABAC边上的高,MBC的中点,

DM=BCME=BC

∴DM=ME

∵NDE中点,

∴MN⊥DE

可知,DM=ME=BM=MC

∠MCE=∠MEC∠MBD=∠MDB

∴∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE∠CMD=∠MBD+∠MDB=2∠MBD

又∵∠DME=180°-∠BME-∠CMD

∴∠DME=180°-2(∠MBD+∠MCE)

又∵在△ABC中,∠MBD+∠MCE=180°-∠BAC

∠DME=180°-2(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°.

∴(2)中原来的结论不成立.

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