Question

18．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出二次函数y=x²-2x+3的一个“同簇二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y₁=x²-2x+3和y₂=ax²+bx+2，若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，求函数y₂的表达式．
（3）已知二次函数y₁=x²-2x+3，若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，请直接写出符合要求的二次函数y₂的所有表达式．（可用含字母的解析式表示）

Answer 1

分析 （1）首先把函数y=x²-2x+3化成顶点坐标式，然后根据“同簇二次函数”的定义解答即可；
（2）由y₁的图象经过点（1，2）可以求出a、b的值，然后根据y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”就可以求出函数y₂的表达式；
（3）利用（2）求得函数y₂的表达式进而得出答案．

解答 解：（1）∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴y=x²-2x+3的一个“同簇二次函数”为y=2（x-1）²+2；
（2）y₁+y₂=x²-2x+3+ax²+bx+2
=（a+1）x²+（b-2）x+5，
∵y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，
∴y₁+y₂=（a+1）（x-1）²+2
=（a+1）x²-2（a+1）x+（a+1）+2．
其中a+1＞0，即a＞-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-2=-2（a+1）}\\{5=a+1+2}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$．
∴函数y₂的表达式为：y₂=2x²-4x+2．
（3）二次函数y₂的所有表达式y₂=n（x²-2x+1）（n＞0）．

点评 此题考查二次函数的性质，掌握对称轴与顶点坐标的求法是解决问题的关键．