Question

2．已知：平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）如图（1），连接BC，求直线BC的解析式；
（2）如图（2），过点D（2，0）作DN⊥x轴，分别交抛物线、直线BC于点N、H，点P是第三象限抛物线上的一个动点，作PE⊥DN于点E，设PE=m，HE=d，求出d与m的关系式；
（3）如图（3），在（2）的条件下，延长PE交抛物线于点R，作直线PH交抛物线于点Q，作QF⊥ND于点F，当ER=4FQ时，抛物线上是否存在点G使∠PGR=90°？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）由PE=m，可得P（2-m，-m²+2m+3），H（2，1），E（2，-m²+2m+3），由此即可表示d．
（3）设FQ=n则Q（2+n，-n²-2n+3），FH=-n²-2n+2，EH=m²-2m-2，想办法列出方程组，求出m、n，推出P、R两种坐标，作GT⊥PR于T，设G（t，-t²+2t+3），则PT=t+2，TR=4-t，GT=-t²+2t+3-（-5）=（4-t）（t+2），于tan∠PGT=tan∠R，得$\frac{TR}{GT}$=$\frac{GT}{PT}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=-x²+2x+3令x=0得y=3，
∴C（0，3），
令y=0得-x²+2x+3=0解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+b，把B、C代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴解析式为y=-x+3．

（2）∵PE=m，则P（2-m，-m²+2m+3），H（2，1），E（2，-m²+2m+3），
∴d=1-（-m²+2m+3）=m²-2m-2．

（3）设FQ=n则Q（2+n，-n²-2n+3），FH=-n²-2n+2，EH=m²-2m-2，
∵tan∠QFH=tan∠PEH，
∴$\frac{FQ}{FH}$=$\frac{PE}{EH}$，
∴FQ•EH=PE•FH，
∴n（m²-2m-2）=m（-n²-2n+3），
∴mn（m+n）=2（m+n），
∵m+n≠0，
∴mn=2     ①，
设对称轴x=1交PR于点S，则SE=1，PS=RS=m-1，
∴ER=m-2，
∵ER=4FQ，
∴m-2=4n    ②，
由①②m=4，n=$\frac{1}{2}$（负根已经舍弃），
∴P（-2，-5），R（4，-5），
作GT⊥PR于T，设G（t，-t²+2t+3），则PT=t+2，TR=4-t，
GT=-t²+2t+3-（-5）=（4-t）（t+2），
∵tan∠PGT=tan∠R，
∴$\frac{TR}{GT}$=$\frac{GT}{PT}$，
∴$\frac{4-t}{（4-t）（t+2）}$=$\frac{（4-t）（t+2）}{t+2}$，
整理得t²-2t-7=0，解得t=1$±2\sqrt{2}$，
∴G（1-2$\sqrt{2}$，-4）或（1+2$\sqrt{2}$，-4）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、锐角三角函数．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会利用参数，把问题转化为方程组解决，属于中考压轴题．