【题目】探究与发现:如图1所示的图形,像我们常见的学习用品--圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,
(1)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系,并说明理由;
(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:
①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,∠A=40°,则∠ABX+∠ACX等于多少度;
②如图3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数;
③如图4,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9,若∠BDC=133°,∠BG1C=70°,求∠A的度数.
【答案】(1)详见解析;(2)①50°;②85°;③63°.
【解析】
(1)连接AD并延长至点F,根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD,即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C;
(2)①根据(1)得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,再根据∠A=40°,∠BXC=90°,即可求出∠ABX+∠ACX的度数;
②先根据(1)得出∠ADB+∠AEB=90°,再利用DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,即可求出∠DCE的度数;
③由②得∠BG1C=(∠ABD+∠ACD)+∠A,设∠A为x°,即可列得(133-x)+x=70,求出x的值即可.
(1)如图(1),连接AD并延长至点F,
根据外角的性质,可得
∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD,
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C;
(2)①由(1),可得
∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,
∵∠A=40°,∠BXC=90°,
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°;
②由(1),可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°,
∴(∠ADB+∠AEB)=90°÷2=45°,
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴,,
∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,
=(∠ADB+∠AEB)+∠DAE,
=45°+40°,
=85°;
③由②得∠BG1C=(∠ABD+∠ACD)+∠A,
∵∠BG1C=70°,
∴设∠A为x°,
∵∠ABD+∠ACD=133°-x°
∴(133-x)+x=70,
∴13.3-x+x=70,
解得x=63,
即∠A的度数为63°.
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD顶点A(0,1),B(1,1);一抛物线y=ax2+bx+c过点M(﹣1,0)且顶点在正方形ABCD内部(包括在正方形的边上),则a的取值范围是( )
A. ﹣2≤a≤﹣1 B. ﹣2≤a≤﹣ C. ﹣1≤a≤﹣ D. ﹣1≤a≤﹣
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【题目】如图,已知四边形ABCD是矩形,延长AB至点F,连结CF,使得CF=AF,过点A作AE⊥FC于点E.
(1)求证:AD=AE.
(2)连结CA,若∠DCA=70°,求∠CAE的度数.
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【题目】光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表:
每台甲型收割机的租金 | 每台乙型收割机的租金 | |
A地区 | 1800 | 1600 |
B地区 | 1600 | 1200 |
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元,说明有多少种分配方案,并将各种方案设计出来;
(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议.
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【题目】如图,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,设每个小正方形的边长均为1.
(1)如图①,,,是三个格点(即小正方形的顶点),判断与的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,连接三格和两格的对角线,求的度数(要求:画出示意图,并写出证明过程).
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D,E分别为BC,AB边上一点,∠ADE=∠C.
(1)求证:△BDE∽△CAD;
(2)若CD=2,求BE的长.
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【题目】某大学生创业团队抓住商机,购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售,每袋成本3元.试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天还需支付其他费用80元.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)如果每天获得160元的利润,销售单价为多少元?
(3)设每天的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
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