Question

9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，已知∠CAE=15°，AB=2cm，求∠BOE的度数及矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析 先证明OB=BE，△OAB是等边三角形，得出OB=AB=2，∠ABO=60°，根据等腰三角形的性质求出∠BOE，再运用勾股定理求出AD，矩形的面积=AB•AD．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OB=$\frac{1}{2}$BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴BE=AB=2，∠OAB=∠BAE+∠CAE=60°，
∴OB=BE，△OAB是等边三角形，
∴OB=AB=2，∠ABO=60°，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵BD=2OB=4，
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理的运用；熟练掌握矩形和等边三角形的性质是解决问题的关键．