Question

如图，矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上，B、C在x轴的正半轴上，且矩形始终在抛物线与x轴围成的区域里．
（1）设点A的横坐标为x，试求矩形的周长P关于变量x的函数表达式；
（2）当点A运动到什么位置时，相应矩形的周长最大？最大周长是多少？
（3）在上述这些矩形中是否存在这样一个矩形，它的周长为7？若存在，求出该矩形的各顶点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，得，
解得x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0）；
∴=，
即P=．

（2）∵
∴当时，P的最大值为；
故当点A运动到（，）时，矩形的周长最大，且最大值为．

（3）存在；
当P=7时，得
即4x²-4x-3=0，
解得，；
∵0＜x＜2，
∴；
当时，，
∴，，．
分析：（1）根据矩形和抛物线的对称性可知：BC=AD=OE-2x，因此求矩形的周长，就必须先求出E点的坐标，根据已知抛物线的解析式，易求得E点的坐标，进而可得到BC的表达式，利用矩形的周长公式即可得到关于P、x的函数关系式．
（2）将（1）题所得函数关系式化为顶点坐标式，进而可求得P的最大值及对应的x的值．
（3）将P=7代入（1）题的函数关系式中，即可求得对应的x的值，进而可根据A点坐标和矩形各边长的表达式求出各顶点的坐标．
点评：此题主要考查了矩形、抛物线的性质，二次函数解析式的确定，二次函数最值的应用等知识，难度适中．