Question

6．观察下面的变形规律：$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，若写成上面式子形式，请你猜想$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）说明你猜想的正确性；
（3）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{2015}{2016}$；
（4）解关于n的分式方程：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n+7}{n+9}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式做出猜想，写出即可；
（2）猜想等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后判断与右边相等，得证；
（3）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；
（4）分式方程左边利用拆项法变形，整理后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到n的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答 解：（1）猜想得到$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$；
（4）已知方程整理得：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+7}{n+9}$，即$\frac{n}{n+1}$=$\frac{n+7}{n+9}$，
去分母得：n²+9n=n²+8n+7，
解得：n=7，
经检验n=7是分式方程的解．
故答案为：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（3）$\frac{2015}{2016}$．

点评 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．