Question

【题目】如图1，已知在长方形ABCD中， AD=8， AB=4，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在 处， 交AD于点E.

（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）求DE的长．
（3）如图2，若点P是BD上一动点， 于点N， 于点M，问： PN+PM的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由翻折知，∠1=∠2 ，

∵AD∥BC，

∴∠3=∠2 ，

∴∠1=∠3，

∴BE=DE，

即△BED是等腰三角形

（2）解：设DE=x,则AE=8-x，BE=x,

在Rt△ABE中，

解之， x=5, ∴ DE=5

（3）解：PM+PN为定值，是4 ,

延长MP，交BC于点H,

∵AD∥BC，PM ,

∴PH⊥BC,

∵∠1=∠2， PN ,PH⊥BC,

∴PN=PH ,

∴ PM+PN=MN=AB=4

【解析】（1）根据折叠的性质，得到∠1=∠2 ，由AD∥BC，得到内错角相等得到∠3=∠2 ，即∠1=∠3，根据等角对等边得到BE=DE， 即△BED是等腰三角形；（2）在Rt△ABE中，根据勾股定理求出DE的长；（3）根据题意作出辅助线，得到PH⊥BC，再由∠1=∠2，得到PN=PH ，得到PM+PN=MN=AB的值.