Question

12．圆O的直径AB=10cm，CD长是圆O的$\frac{1}{6}$，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．
（1）求证：EC=FD．
（2）求AE+BE．

Answer 1

分析 （1）过点O作OG⊥CD于G，则AE∥OG∥BF，根据平行线分线段成比例定理与垂径定理即可证明；
（2）OG是直角梯形ABFE的中位线，则AE+BF=2OG，连接OC，根据勾股定理和垂径定理即可求得OG的长，进而求解．

解答 （1）证明：过点O作OG⊥CD于G，
∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{GE}{GF}$，
又∵OA=OB，
∴GE=GF，
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
∴CG=GD，
∴EG-CG=GF-GD，
即CE=DF；

（2）解：连接OC，则OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
∴CG=$\frac{1}{2}$CD，
∵CD长是圆O的$\frac{1}{6}$，
∴CG=$\frac{1}{12}$×10π≈2.5，
∴OG=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，
∵梯形ABFE中，EG=GF，AO=OB，
∴OG=$\frac{1}{2}$（AE+BF），
∴AE+BF=2OG=5$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径定理可以把求弦长或圆心角的问题转化为解直角三角形的问题．