Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E．
（1）求证：AD²=DE•DB；
（2）若BC=，CD=，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：由D是劣弧的中点，得
?∠ABD=∠DAC，
又∵∠ADB=∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴，
∴AD²=DE•DB；

（2）解：由D是劣弧的中点，得AD=DC，则DC²=DE•DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形．
∴BD===
由DC²=DE•DB得，DE，
解得DE=．
分析：（1）欲证AD²=DE•DB，D是劣弧的中点，有∠DAC=∠ABD，又∠ADB公共，证明△ABD∽△AED得出相似比；
（2）欲求DE的长，由AD²=DE•DB知，需求出AD、DB的长，（CB是直径，则△BCD是直角三角形，勾股定理求出BD的长，AD=CD）．
点评：（1）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出；
（2）考查了直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．