Question

7．已知：如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，点E在AC的垂直平分线上．
（1）请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由；
（2）如果CD=3BD，求∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）由△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，根据三线合一的性质，可得BD=DE，又由点E在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，继而证得DC=AB+BD；
（2）由CD=3BD，结合（1）中的结论，易证得AB=2BD，继而求得∠BAD=30°，则可求得∠B的度数．

解答 解：（1）AB+BD=DC．
理由：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，
∴BD=DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴CE=AB，
∴AB+BD=CE+DE=DC．

（2）∵CD=3BD，AB+BD=CD，
∴AB=2BD，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，
∴∠B=90°-∠BAD=60°．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．