Question

17．如图所示，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数关系式；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点M．使得AM=BM？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数直接求之即可；
（2）作AB的垂直平分线交x轴于点M，利用勾股定理算出OM即可．

解答 解：（1）把点A（4，0），B（0，3）代入二次函数y=-x²+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$b=\frac{13}{4}$，c=3，
所以二次函数的关系式为：$y=-{x}^{2}+\frac{13}{4}x+3$；
（2）如图，作AB的垂直平分线交x轴于点M，

连接BM，则BM=AM，
设BM=AM=x，
则OM=4-x，
在直角△OBM中，
BM²=OB²+OM²，
即：x²=3²+（4-x）²，
解得：x=$\frac{25}{8}$，
∴OM=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
所以点M的坐标为：（$\frac{7}{8}$，0）；

点评 本题考查了待定系数求二次函数解析式、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，难度不大，属于基础题．第（2）问虽然简单，却是对称问题与勾股定理相结合的经典应用，要引起重视．