Question

2．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠BAD=90°且AB=AD，CD⊥BC，∠ACB=45°，AC=BC．
（1）求证：△DCA≌△OCB；
（2）若AC=4，求出四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=90°，CD⊥BC，得到A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠DAO=∠CAO，∠ACD=∠ACB，即可得到结论；
（2）过B作BE⊥AC于E，过D作DF⊥AC于F，由∠ECB=∠DCF=45°，于是得到BE=CE，DF=CF，根据余角的性质得到∠ABE=∠DAE，推出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AF=BE，AE=DF，等量代换得到AE=CF，求得BE+DF=AF+CF=AC=4，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠BAD=90°，CD⊥BC，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DAO=∠CAO，
∵AB=AD，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠ACB，
在△DCA与△OCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠OBC}\\{∠ACD=∠BCO}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DCA≌△OCB；

（2）解：过B作BE⊥AC于E，过D作DF⊥AC于F，
∵∠ECB=∠DCF=45°，
∴BE=CE，DF=CF，
∵∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAE，
在△ABE与△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFD=90°}\\{∠ABE=∠DAF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴AF=BE，AE=DF，
∴AE=CF，
∴BE+DF=AF+CF=AC=4，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC$•BE+\frac{1}{2}AC•DF$，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC²=8．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆，求图形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．