Question

10．已知抛物线$y=-\frac{3}{16}（x-1）（x-9）$与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{41}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{34}}}{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 P为AG中点，D为AB中点，所以PD是三角形ABG的中位线，则DP=1/2 BG，当BG最大时，则DP最大．
由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大．

解答 解：令$y=-\frac{3}{16}（x-1）（x-9）$=0，得x=1或x=9，
∴A（1，0），B（9，0），
∵$y=-\frac{3}{16}（x-1）（x-9）$=$-\frac{3}{16}（x-5）^{2}+3$，
∴C（5，3），
设P（x，y），
∵P为AG中点，
∴G（2x-1，2y），
∵CG=2，
∴（2x-1-5）²+（2y-3）²=4，
∴${（x-3）}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}=1$，
即P点在以E（3，$\frac{3}{2}$）为圆心，1为半径的圆上，
∵D（5，0），
∴DE=$\sqrt{（3-5）^{2}+（\frac{3}{2}-0）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴DP≤DE+EP=$\frac{5}{2}+1$=$\frac{7}{2}$，
即DP的最大值为$\frac{7}{2}$．
故选A．

点评 本题主要考查了抛物线的交点式和顶点式、圆的定义及基本性质、中点坐标公式、两点间的距离公式、点的轨迹方程、三角形三边关系等知识点，有一定难度．设出P点坐标，求出P点的轨迹方程是解决本题的关键．