Question

1．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），A点坐标为（-1，0），OB=OC．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过CD两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点ACEF为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据B点的坐标为（3，0），OB=OC得出C点坐标，再把A、B、C三点的坐标代入二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），求出a、b、c的值即可；
（2）根据以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，由平行四边形的性质以及二次函数的性质得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得G点坐标，根据点在函数图象上，可得P（x，x²-2x-3），根据待定系数法，可得直线AG的解析式，根据PQ平行于y轴，可得Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得Q点的纵坐标，根据线段的和差，可得PQ的长，根据面积的和差，可得用x表示出三角形的面积，根据二次函数的最值，可得答案．

解答 解：（1）∵B点的坐标为（3，0），OB=OC，
∴C（0，-3）．
∵A点坐标为（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=-3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；

（2）在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴顶点D（1，-4）．
容易求得直线CD的表达式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，此时F（2，-3）；

（3）如图2，过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
当x=2时，y=2²-2×2-3=-3，G（2，-3），
直线AG为y=-x-1．
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），
PQ=-x²+x+2．S_△APG=S_△APQ+S_△GPQ=$\frac{1}{2}$（-x²+x+2）×3
当x=$\frac{1}{2}$时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），S_△APG最大=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$

点评 此题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及三角形的面积问题．此题难度较大，综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．