Question

已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②tan∠PEF=

3

3

；③S_△EPF的最小值为

1

2

；④S_{四边形AEPF}=1．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有

①③④

．

Answer 1

分析：利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，
∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF（故①正确），△EPF是等腰直角三角形（最小值为1，tan∠PEF=1，故②错误③正确），S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC=1（故④正确），①③④正确；
故答案为：①③④．

点评：此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定．