Question

17．如图1，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，E是OB的中点，过点B作⊙O的切线与CE的延长线交于点F，连接FA交⊙O于点H
（1）求证：FA=FC；
（2）如图2．连接BH，交CF于点G，若OB=2，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC．先证明△COE≌△FBE，推出∠BFE=∠BAF，由OC∥BF，推出∠BFE=∠OCE，再由∠FCA=45°+∠OCE，∠FAC=45°+∠FAB，即可证明∠FAC=∠FCB解决问题．
（2）只要证明BG是Rt△BEF的斜边上的中线即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC．

∵AB是直径，
$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴OC⊥AB，
∵FB是切线，
∴FB⊥AB，
∴∠COE=∠FBE=90°，
∴OC∥BF，
∴∠BFE=∠OCE，
在△COE和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠FBE}\\{OE=EB}\\{∠OEC=∠BEF}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△FBE，
∴FB=OC=2OE=2BE，设OE=BE=a，则FB=OC=OB=OA=2a，
∴FB²=BE•BA，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{BA}{BF}$，∵∠FBE=∠FBA，
∴△FBE∽△ABF，
∴∠BFE=∠BAF=∠OCE，
∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠FCA=45°+∠OCE，∠FAC=45°+∠FAB，
∴∠FAC=∠FCB，
∴FC=FA．

（2）解：如图2中，

由（1）可知BF=OB=2，BE=OE=1，∠EBF=90°，
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AF是直径，
∴∠AHB=90°，
∴∠FBG+∠ABH=90°，∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠FBG=∠BAH=∠GFB，
∴GF=GB，
∵∠BEG+∠BFE=90°，∠EBG+∠FBG=90°，
∴∠BEG=∠GBE，
∴GE=BG=FG=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、直径的性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，综合性比较强，属于中考压轴题．