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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知，如图A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，点E为x轴上一个动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为D，交y轴于N点．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）设点E（t，0），△BEN的面积为S，请求出S与t的函数关系式；
    （3）已知点F是抛物线y=ax2+bx+c上的一动点，点G是坐标平面上的一动点，在点E的移动过程中，是否存在以点B、E、F、G四点为顶点的四边形是正方形，若存在，请求出E点的坐标，若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由抛物线过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，由待定系数法可以直接求出抛物线的解析式；
    （2）由条件可以证明△COE≌△BON，可以求得ON=OE，分3种情况表示出S与t的函数关系式；
    （3）在移动的过程中，由四边形BEFG是正方形，且点F在抛物线上就有BE=EF，设出点F的坐标，从F在x轴的下方和上方就可以求出F的横作标，就求出了E的坐标．
    解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，则
    0=a-b+c
    0=9a+3b+c
    c=-3
    ，
    解得：
    a=1
    b=-2
    c=-3
    ，
    ∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；

    （2）∵B（3，0），C（0，-3），
    ∴OB=OC=3，
    ∵BD⊥CD，
    ∴∠BDE=90°，
    ∵∠BED=∠CEO，
    ∴∠OBN=∠OCE，
    ∴△COE≌△BON，
    ∴ON=OE，
    ∴当0≤t≤3时，S=-
    1
    2
    t2+
    3
    2
    t，
    当t＞3时，S=
    1
    2
    t2+
    3
    2
    t，
    当t＜0时，S=
    1
    2
    t2-
    3
    2
    t；

    （3）∵四边形BEFG是正方形，
    ∴BE=EF，
    当F在x轴下方时，设F（a，a2-2a-3），E（a，0），
    ∴（3-a）=-（a2-2a-3），
    解得：a1=0，a2=3（不符合题意，舍去），
    ∴E（0，0），
    当F在x轴上方时，设F（a，a2-2a-3），E（a，0），
    ∴3-a=a2-2a-3，
    ∴a1=-2，a2=3（不符合题意，舍去），
    ∴E（-2，0），
    综上所述，E（0，0）或（-2，0）．
    点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质．
    练习册系列答案
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    （1）NM是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：
    		3
    ≈1.732）
    （2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工作需要多少天？

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    11、已知，如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，A点坐标为（2，1），分别以A、B为圆心的圆与x轴相切，则图中两个阴影部分面积的和为
    π
    ．

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    精英家教网已知，如图，∠1=∠2，
     
    ．求证：AB=AC．
    （1）在横线上添加一个使命题的结论成立的条件；
    （2）写出证明过程．

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    精英家教网已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为
    AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，
    （Ⅰ）求BC、AP1的长；
    （Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
    （Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．

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    已知：如图，抛物线y=-
    		3
    3
    x2-
    2
    		3
    3
    x+
    		3
    的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交精英家教网于C点，⊙M经过原点O及点A、C，点D是劣弧
    OA
    上一动点（D点与A、O不重合）．
    （1）求抛物线的顶点E的坐标；
    （2）求⊙M的面积；
    （3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究，当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．

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